MUNA

(Soal 3) ANALISIS KORELASI dan REGRESI

Posted by Nursaptia Purwa Asmara on Saturday, November 08, 2014 with No comments

Untuk model tanpa intercept: ${Y}_{i}={\beta{X}_{i}+{E}_{i}$ , dengan $Y\left({E}_{i}\right)=0$ dan $Var\left({E}_{i}\right)={\sigma}^{2}$ , $b$ adalah penduga $\beta$ yang meminimalkan jumlah kuadrat simpangan.

Tunjukkan bahwa $b=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$

Tunjukkan bahwa $b$ adalah penduga tidak bias untuk $\beta$

Berapa $Var\left(\hat{\beta}\right)$ ?

Tunjukkan bahwa $\hat{\beta}=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$ juga merupakan penduga tidak bias untuk $\beta$

Sebagai penduga $\beta$ mana yang lebih baik?

JAWABAN (Mohon Dikoreksi Kembali)

Menunjukkan bahwa $b=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$

${Y}_{i}={\beta{X}_{i}+{E}_{i}$ dikalikan dengan $\left(\sum{{X}_{i}}\right)$

$\sum{{X}_{i}{Y}_{i}=\hat{\beta}\sum{{X}_{i}^{2}+{E}_{i}\sum{{X}_{i}}}}$

$\hat{\beta}=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}-{E}_{i}\sum{{X}_{i}}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\sum{{X}_{i}{E}_{i}}=0$

$\hat{\beta}=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=b$

Menunjukkan bahwa $b$ adalah penduga tidak bias untuk $\beta$

$b=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=\frac{\sum{{X}_{i}}\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=\frac{\sum{{X}_{i}\left(\beta{X}_{i}+{E}_{i}\right)}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$

   $=\frac{\beta\sum{{X}_{i}{X}_{i}+\sum{{X}_{i}{E}_{i}}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\sum{{X}_{i}{E}_{i}=0}$

   $=\frac{\beta\sum{{X}_{i}{X}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\frac{\sum{{X}_{i}{X}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=1$

$b=\beta$

Mencari $Var\left(\hat{\beta}\right)$

$Var\left(\hat{\beta}\right)=E{\left[\hat{\beta}-E\left(\hat{\beta}\right)\right]}^{2}=E{\left(\hat{\beta}-\beta\right)}^{2}=E{\left(\frac{\sum{{X}_{i}{E}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\right)}^{2}=\frac{1}{{\left(\sum{{X}_{i}^{2}}\right)}^{2}}E{\left(\sum{{X}_{i}{E}_{i}}\right)}^{2}$

        $=\frac{1}{{\left(\sum{{X}_{i}^{2}}\right)}^{2}}E\sum{{X}_{i}{X}_{j}{E}_{i}{E}_{j}}=\frac{1}{{\left(\sum{{X}_{i}^{2}}\right)}^{2}}\left[E\left(\sum{{X}_{i}^{2}{E}_{i}^{2}}\right)+E\left(\sum{{X}_{i}{X}_{j}{E}_{i}{E}_{j}}\right)\right]$

               $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\RightarrowE\left(\sum{{X}_{i}^{2}{E}_{i}^{2}}\right)={\sigma}^{2}\sum{{X}_{i}^{2}}$

               $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\RightarrowE\left(\sum{{X}_{i}{X}_{j}{E}_{i}{E}_{j}}\right)\right]=0$

       $=\frac{{\sigma}^{2}\sum{{X}_{i}^{2}}}{{\left(\sum{{X}_{i}^{2}}\right)}^{2}}=\frac{{\sigma}^{2}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$

Menunjukkan bahwa $\hat{\beta}=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$ juga merupakan penduga tidak bias untuk $\beta$

$\hat{\beta}=\frac{\sum{{X}_{i}{Y}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=\frac{\sum{{X}_{i}}\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=\frac{\sum{{X}_{i}\left(\beta{X}_{i}+{E}_{i}\right)}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}$

$=\frac{\beta\sum{{X}_{i}{X}_{i}+\sum{{X}_{i}{E}_{i}}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\sum{{X}_{i}{E}_{i}=0}$

$=\frac{\beta\sum{{X}_{i}{X}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\frac{\sum{{X}_{i}{X}_{i}}}{\sum{{X}_{i}^{2}}}=1$

$\hat{\beta}=\beta$

Sebagai penduga $\beta$ , baik $b$ maupun $\hat{\beta}$ dapat digunakan segabai penduga tidak bias untuk $\beta$ karena ketiganya memiliki nilai yang sama $\hat{\beta}=b=\beta$

Categories: SOAL, soal ANAREG

MUNAWI INSIDE

MATERI BIOLOGI

Saturday, November 8, 2014

(Soal 3) ANALISIS KORELASI dan REGRESI

0 comments:

Post a Comment

Recent Posts

Search

Punya Pertanyaan? Diskusikan di Fans Page Facebook kami

About Me

Members

Banner